(एकाधिकेन पूर्वेण + अन्त्ययोर्दशकेऽपि से) गुणा और वर्ग

अन्त्ययोर्दशकेऽपि के सहायता से संख्याओं का वर्ग और गुणा करना.

एकाधिकेन पूर्वेण से वर्ग: इस सूत्र के प्रयोग से 5 से अंत होने वाली संख्याओं का वर्ग किया जा सकता है.

जैसे: 35, 45, 65, 135, 125, 115 आदि का वर्ग.

35 का वर्ग

35 में 'पूर्व' अंक है 3 और 3 का एकाधिक होता है 4. इसलिए 35^2 =3x4\25 =1225

125 का वर्ग

125 में 'पूर्व' अंक है 12 और 12 का एकाधिक होता है 13. इसलिए 125^2 =12x13\25 =156\25 =15625

कुछ और उदाहरण--

1. 1995^2 =199x200\25 =39800\25 =3980025
2. 325^2 =32x33\25 =1056\25 =105625
3. 535^2 =53x54\25 =2862\25
4. 95^2 =9x10\25 =90\25 =9025.
5. 35^2 =3x4\25 =12\25 =1225.

अब किसी भी एक 5 से अंत होने वाली संख्या के वर्ग पर विचार कीजिये :

25^2 =25x25 --इसमें दोनों के 'पूर्व' अंक एक ही हैं और 'अंतिम' अंक 5 और 5 हैं अर्थात अंतिम' अंक का योग 10 है.

इस प्रकार यह नियम वैसे सभी संख्याओं पर भी लागू होता है जिनमें अंतिम अंको का योग 10 हो. इसके लिए एक उपसुत्र है -----------

'अन्त्ययोर्दशकेपि' का 'प्रयोग में' अर्थ है: अंतिम वाले का योग 10 हो या 10^n हो. n प्राकृत संख्या है.

अर्थात् 10 हो, या 100,1000, या 10000 या .....  हो.

जैसे- 56x54, 102x108,157x143 651x649 ,1998x1992,1998x1002  इत्यादि में, क्रमशः 6+4=10; 2+8=10; 57+43=100; 51+49=100; 8+2=10; 998+002=1000  है.

अब इनमें एक और बात पर ध्यान दीजिये,  1998x1992 में 'पूर्व' 199 है और 'अंतिम' में 8 और 2 है, जबकि 1998x1002 में 'पूर्व' 1 है और 'अंतिम' में 998 और 002 है. 

1998x1992 के गुणा पर विचार करें

दोनों के 'पूर्व' एक समान है  और 'अंतिम' (जो कि 8 और 2 है ) का योग 10 है. इसलिए उपरोक्त नियम इस पर काम कर जायेगा.

• 'पूर्व' को,  'पूर्व' के एकाधिक (एक-अधिक) से गुणा करेंगे. यहाँ पूर्व' है 1 और 199 का एकाधिक है 200 इसलिए 199x200=39800.
• 'अंतिम' है 8 और 2 (जिसका जोड़ =10). 8x2 करेंगे. और इससे मिलेगा 8x2=16.
• इस तरह से 1998x1992= 39800\16 =3980016.

1998x1002 के गुणा पर विचार करें

'पूर्व' है 1 और 'अंतिम' में है 998 और 002. 

• 1 को 1 के एकाधिक से गुणा करने पर, 1x2=2 मिलता है.
• अंतिम है 998और 002 (जिसका जोड़ है 1000). 998x002 =998x2 =(2000-4) =1996, किन्तु आधार 1000 है इसलिए अंतिम के गुणनफल से 6-अंक मिलना चाहिए यदि ऐसा नहीं होता है तो 0 की सहायता से 6-अंक पूरा करेंगे. इस तरह से 001996 मिला.
• अतः 1998x1002 =2\003996 =2001996.

कुछ और उदाहरण:

1. 54x56 =5x6\4x6 =30\24 =3024
2. 43x47 =4x5\3x7 =20\21 =2021
3. 119x111 =11x12\9x1 =132\09 =13209
4. 125x125 =12x13\5x5 =156\25 =15625.

यह आसान है यदि आपको नही लगता है तो --- गुणा के 'उर्ध्वतिर्यक' सूत्र का प्रयोग करें. 16 सूत्रों के साथ में हमने उर्ध्वतिर्यक का एक उदाहरण दिया है उसे समझने का प्रयास करें. यदि नहीं समझ पा रहे हों तो आप comment करके बतायें. आप हमारे facebook page पर भी सवाल कर सकते हैं साथ ही उस पर आपको 11 से गुणा करने की आसान विधि मिल जायेगी.