ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से बीजगणितीय गुणा (Algebraic multiplication ).

 बीजगणितीय गुणा (Algebraic multiplication )

यदि आप इस सूत्र के प्रयोग से सामान्य गुणा / संख्याओं के गुणा करना जानते हैं तो बीजगणितीय गुणा भी सरलता से सीख जायेंगे। 

ऊपर इस उदहारण में देख सकते हैं कि सरल गुणा का प्रचलित विधि कैसा है.

प्रचलित विधि में व्यंजकों के सभी चर और अचर पदों को एक-दूसरे से गुणा किया जाता है, इसके बाद चरों का मिलान करते हुए उनके गुणांकों को जोड़ा जाता है.

 अब वैदिक गणित विधि से 

यदि व्यंजक X² + 2X  + 1 और व्यंजक X² + 3X + 4 को गुणा करना है तो

•  दोनों के गुणांकों (Co-efficients)) को अलग-अलग लिख देंगे -- (1,2,1) और (1,3,4).

• और ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा करेंगे (पूरा गुणनफल  प्राप्त नहीं करना है ) -- 1/5/11/11/4

• प्राप्त संख्यायें वाँछित गुणनफल के गुणांक(co-effiecient) हैं। 

 अब गुणांकों के साथ X की घात^* लिख दीजिये इससे आपका गुणनफल प्राप्त होगा -- X⁴ + 5X³ + 11X² + 11X + 4.

*घात दाएं से बाएं लिखिए, 0 से आरम्भ करते हुए   ; .......← X⁴, X³, X², X¹, X⁰ .

विभिन्न उदाहरण 

1.  (x+1)(x+1) = 

• गुणांक हैं -- (1,1)(1,1)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र लगाने पर -- 
  
  
  
• हमारा गुणनफल है 1x² + 2x¹ + 1x⁰ =   x² + 2x + 1

2. (x+2)(x-2) =

• दोनों व्यंजकों के गुणांक हैं -- (1 , 2) (1 , -2)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से --
  
  
  
• इस प्रकार गुणनफल के गुणांक (co- eff .) हैं -- 1,0,-4.
• अतः (x +2)(x-2) = 1x² + 0x¹ - 4x⁰ =  x² - 4

3.  (2x³+3x²+x+1)(x³+x²+2x+2)

• गुणांक हैं(Co-effs.) -- (2, 3, 1, 1)(1, 1, 2, 2)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणनफल के गुणांक प्राप्त होंगे -- 
  
  
  
• इस प्रकार गुणनफल के गुणांक हैं -- 2,5,8,12,9,4,2
•  x की घात स्थापित करने पर  2x⁶ + 5x⁵ + 8x⁴ +12x³ + 9x² + 4x¹ + 2x⁰ 
• अतः (2x³+3x²+x+1)(x³+x²+2x+2) = 2x⁶ + 5x⁵ + 8x⁴ +12x³ + 9x² + 4x + 2

4. (x⁵+x³+x+1)(x⁴+x²+x+1)

• गुणांक हैं --  (1,0,1,0,1,1)(0,1,0,1,1,1)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र लगाने के बाद --
  
  
  
• पुनः X की घातें स्थापित करने पर -- 0x¹⁰ + 1x⁹ + 0x⁸ + 2x⁷ + 1x⁶ + 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 
• अतः (x⁵+x³+x+1)(x⁴+x²+x+1) =  x⁹ + 2x⁷ + x⁶ + 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 

5.  (2x²-3x+1)(-x²-4x-7)

• दोनों के गुणांक हैं -- (2, -3, 1 ) (-1, -4, -7 )
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम सूत्र से - 
  
  
  
• गुणनफल के गुणांक हुए --    -2,-5,-3,17,-7
• X की घातें स्थापित करने पर -- -2x⁴ - 5x³ - 3x² + 17x¹ - 7x⁰ 
• अतः (2x²-3x+1)(-x²-4x-7) = -2x⁴ - 5x³ - 3x² + 17x -7.

6.   (x³-1)(x³-x²)

• दोनों के गुणांक(co-efficients) हैं -- (1, 0, -1), (1, -1, 0)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से --
  
  
  
  
  
  
  
• X की घात स्थापित करने पर -- 1x⁴ - 1x³ -1x² + 1x¹ + 0x⁰

• अतः (x²-1)(x²-x) =   x⁴ - x³ -x² + x

7.  (x³+x²-1)(x³+1)

•  दोनों के गुणांक हैं- (1, 1, -1),(1, 0, 1)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से -- 
  
  
  
•  x की घात स्थापित करने पर 1x⁴ + 1x³ +0x² + 1x¹ - 1x⁰
• अतः (x³+x²-1)(x³+1) = x⁴ + x³ + x -1.

8. (x⁵ -2x⁴ + 7)(x+2)

• दोनों के गुणांक हैं (1,-2,0,0,0,7),(1,2)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से -- 
  
  
  
• x की घातों को स्थापित करने पर, 1x⁶ + 0x⁵ - 4x⁴ + 0x³ + 0x² + 7x¹ + 14x⁰.
• अतः (x⁵ -2x⁴ + 7)(x+2) = x⁶ - 4x⁴ + 7x + 14.

9. (x²+2x+1)(x²-x+2)(x+1)

• अब तीन व्यंजक हैं (x²+2x+1),(x²-x+2) और (x+1).
• तीनों के गुणांक हैं क्रमशः (1,2,1), (1,-1,2), (1,1).
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से ,
  
  
  
  
  
• x की घातों को स्थापित करने पर, 1x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 4x² + 5x¹ + 2x⁰
• अतः  (x²+2x+1)(x²-x+2)(x+1) = x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 4x² + 5x + 2.

10.  (x²+2x+10)(x²+8x+7)(x+5)

• तीनों  के गुणांक हैं - (1,2,10), (1,8,7), (1,5)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से ,
  
  
  
• x की घातों को स्थापित करने पर, 1x⁵ + 15x⁴ + 83x³ + 259x² + 540x¹ + 350x⁰.
• अतः  (x²+2x+10)(x²+8x+7)(x+5)
  = x⁵ + 15x⁴ + 83x³ + 259x² + 540x + 350.

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