ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से बीजगणितीय गुणा (Algebraic multiplication ).

 बीजगणितीय गुणा (Algebraic multiplication )

यदि आप इस सूत्र के प्रयोग से सामान्य गुणा / संख्याओं के गुणा करना जानते हैं तो बीजगणितीय गुणा भी सरलता से सीख जायेंगे। 

ऊपर इस उदहारण में देख सकते हैं कि सरल गुणा का प्रचलित विधि कैसा है.

प्रचलित विधि में व्यंजकों के सभी चर और अचर पदों को एक-दूसरे से गुणा किया जाता है, इसके बाद चरों का मिलान करते हुए उनके गुणांकों को जोड़ा जाता है.

 अब वैदिक गणित विधि से 

यदि व्यंजक X² + 2X  + 1 और व्यंजक X² + 3X + 4 को गुणा करना है तो

•  दोनों के गुणांकों (Co-efficients)) को अलग-अलग लिख देंगे -- (1,2,1) और (1,3,4).

• और ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा करेंगे (पूरा गुणनफल  प्राप्त नहीं करना है ) -- 1/5/11/11/4

• प्राप्त संख्यायें वाँछित गुणनफल के गुणांक(co-effiecient) हैं। 

 अब गुणांकों के साथ X की घात^* लिख दीजिये इससे आपका गुणनफल प्राप्त होगा -- X⁴ + 5X³ + 11X² + 11X + 4.

*घात दाएं से बाएं लिखिए, 0 से आरम्भ करते हुए   ; .......← X⁴, X³, X², X¹, X⁰ .

विभिन्न उदाहरण 

1.  (x+1)(x+1) = 

• गुणांक हैं -- (1,1)(1,1)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र लगाने पर -- 
  
  
  
• हमारा गुणनफल है 1x² + 2x¹ + 1x⁰ =   x² + 2x + 1

2. (x+2)(x-2) =

• दोनों व्यंजकों के गुणांक हैं -- (1 , 2) (1 , -2)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से --
  
  
  
• इस प्रकार गुणनफल के गुणांक (co- eff .) हैं -- 1,0,-4.
• अतः (x +2)(x-2) = 1x² + 0x¹ - 4x⁰ =  x² - 4

3.  (2x³+3x²+x+1)(x³+x²+2x+2)

• गुणांक हैं(Co-effs.) -- (2, 3, 1, 1)(1, 1, 2, 2)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणनफल के गुणांक प्राप्त होंगे -- 
  
  
  
• इस प्रकार गुणनफल के गुणांक हैं -- 2,5,8,12,9,4,2
•  x की घात स्थापित करने पर  2x⁶ + 5x⁵ + 8x⁴ +12x³ + 9x² + 4x¹ + 2x⁰ 
• अतः (2x³+3x²+x+1)(x³+x²+2x+2) = 2x⁶ + 5x⁵ + 8x⁴ +12x³ + 9x² + 4x + 2

4. (x⁵+x³+x+1)(x⁴+x²+x+1)

• गुणांक हैं --  (1,0,1,0,1,1)(0,1,0,1,1,1)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र लगाने के बाद --
  
  
  
• पुनः X की घातें स्थापित करने पर -- 0x¹⁰ + 1x⁹ + 0x⁸ + 2x⁷ + 1x⁶ + 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 
• अतः (x⁵+x³+x+1)(x⁴+x²+x+1) =  x⁹ + 2x⁷ + x⁶ + 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 

5.  (2x²-3x+1)(-x²-4x-7)

• दोनों के गुणांक हैं -- (2, -3, 1 ) (-1, -4, -7 )
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम सूत्र से - 
  
  
  
• गुणनफल के गुणांक हुए --    -2,-5,-3,17,-7
• X की घातें स्थापित करने पर -- -2x⁴ - 5x³ - 3x² + 17x¹ - 7x⁰ 
• अतः (2x²-3x+1)(-x²-4x-7) = -2x⁴ - 5x³ - 3x² + 17x -7.

6.   (x³-1)(x³-x²)

• दोनों के गुणांक(co-efficients) हैं -- (1, 0, -1), (1, -1, 0)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से --
  
  
  
  
  
  
  
• X की घात स्थापित करने पर -- 1x⁴ - 1x³ -1x² + 1x¹ + 0x⁰

• अतः (x²-1)(x²-x) =   x⁴ - x³ -x² + x

7.  (x³+x²-1)(x³+1)

•  दोनों के गुणांक हैं- (1, 1, -1),(1, 0, 1)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से -- 
  
  
  
•  x की घात स्थापित करने पर 1x⁴ + 1x³ +0x² + 1x¹ - 1x⁰
• अतः (x³+x²-1)(x³+1) = x⁴ + x³ + x -1.

8. (x⁵ -2x⁴ + 7)(x+2)

• दोनों के गुणांक हैं (1,-2,0,0,0,7),(1,2)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से -- 
  
  
  
• x की घातों को स्थापित करने पर, 1x⁶ + 0x⁵ - 4x⁴ + 0x³ + 0x² + 7x¹ + 14x⁰.
• अतः (x⁵ -2x⁴ + 7)(x+2) = x⁶ - 4x⁴ + 7x + 14.

9. (x²+2x+1)(x²-x+2)(x+1)

• अब तीन व्यंजक हैं (x²+2x+1),(x²-x+2) और (x+1).
• तीनों के गुणांक हैं क्रमशः (1,2,1), (1,-1,2), (1,1).
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से ,
  
  
  
  
  
• x की घातों को स्थापित करने पर, 1x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 4x² + 5x¹ + 2x⁰
• अतः  (x²+2x+1)(x²-x+2)(x+1) = x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 4x² + 5x + 2.

10.  (x²+2x+10)(x²+8x+7)(x+5)

• तीनों  के गुणांक हैं - (1,2,10), (1,8,7), (1,5)
• ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से ,
  
  
  
• x की घातों को स्थापित करने पर, 1x⁵ + 15x⁴ + 83x³ + 259x² + 540x¹ + 350x⁰.
• अतः  (x²+2x+10)(x²+8x+7)(x+5)
  = x⁵ + 15x⁴ + 83x³ + 259x² + 540x + 350.

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ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा

गुणा 

'ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्' सूत्र से गुणा करना सीखेंगे।

ऊर्ध्व + तिर्यक् + भ्याम् = उर्ध्वतिर्यग्भ्याम्  का अर्थ है : ऊर्ध्व और तिर्यक् (दोनों) के द्वारा। 

उर्ध्व =सीधा/खड़ा (vertical) तथा तिर्यक् =तिरछा (cross).

 यह सूत्र गुणा  का एक सामान्य (general) सूत्र है ,अर्थात् इससे किसी भी प्रकार का गुणा किया जा सकता है बल्कि इस सूत्र की सहायता से हम बीजगणितीय गुणा (algebraic product) भी प्राप्त कर सकते हैं.

उदाहरण से समझते  हैं --

एक-एक अंक के संख्याओं का गुणा : जैसे 2x2 , 5x3 ,4x6, 9x9 इत्यादि। इसके लिए तो पहाड़ा ही याद होना पर्याप्त है। वैदिक गणित में निम्न प्रकार से गुना किया जायेगा।  

ध्यान दें 15, 24 और 81 को क्रमशः 15, 24 और 81 लिखा गया है.   

दो-दो अंकों के संख्याओं का गुणा : जैसे 12x34, 31x24, 25x42 इत्यादि।

दायें से बाएं (Right to Left) बनाया गया है. इसी क्रम में देखे। 

ऊपर के गुणा को ध्यान से देखें और समझें। सबसे पहले तो, यह जितना जटिल दिख रहा है वास्तव में उतना जटिल है नहीं।केवल समझाने के लिए अधिक विस्तृत कर लिखा गया है। चलचित्र (video)↓ देखें। 

गुणा करने के चरण (steps) : आप कागज-कलम ले कर साथ में प्रयास भी करें .

ध्यान  रहे गुणा दाएं से बाएं  की जा रही  है अर्थात्  . गुणनफल का एक -एक अंक दाएं से बाएं की ओर  प्राप्त करेंगे। 

१. 12x34

• 12x34 को ऊपर-नीचे लिख लीजिये। (ऊपर 个के चित्र और चलचित्र (video)के जैसा )
• चरण(step) १ : 4x2 = 8, 8 को ज्यों का त्यों लिख दीजिये। 
• चरण २ : 4x1+3x2 = 10, 10 का 0 लिखेंगे और 1 प्राप्तांक (हासिल अंक / carry digit ) रहेगा। 
• चरण ३ : 3x1 =3;  3 +1 (प्राप्तांक ) = 4.
• इस प्रकार 408 गुणनफल है.

२. 31x24 

• चरण १ : 4x1= 4 
• चरण 2 : 4x3 + 2x1 = 14 अर्थात् 14  (लाल रंग का 1 प्राप्तांक है जो अगले चरण में जुड़ेगा। )
• चरण ३ : 2x3 =6 ; 6+1 (प्राप्तांक) = 7. 
• इस प्रकार 744 गुणनफल है.

३. 25x42 

• चरण १ : 5x2 = 10 , 0 को लिखेंगे और 1(प्राप्तांक) अगले चरण में जुड़ेगा।
• चरण २ : 2x2 + 4x5 = 24 ; 24 + 1(प्राप्तांक) = 25. इस 25 का 5 लिखेंगे और 2 प्राप्तांक अगले चरण में जुड़ेगा। 
• चरण 3 : 4x2 = 8 : 8+2 = 10;   10 को पूरा लिखेंगे क्योंकि इसके बाद कोई अंक नहीं है.गुना यहीं समाप्त होगी। 
• अर्थात् गुणनफल है 1050.

*ध्यातव्य(note): -इसे पूरा का पूरा अपने मन में ही किया जा सकता है, कुछ के लिए 'कागज-कलम' की आवश्यकता पड़ी भी तो इतना सब-का-सब  लिखने की आवश्यकता नहीं है। 

तीन-तीन अंकों के संख्याओं का गुणा  

1. 124x235 

चित्र ३-३.१ 

चित्र ३-३.२ 

124x235 के गुणा के चरण(steps) ऊपर के दोनों चित्रों से स्पष्ट है।

• चित्र ३-३.१ में दिखाया गया है के ऊर्ध्व और तिर्यक् करते हुए किस अंक को किससे गुणा करना है।
• चित्र ३-३.२ में गुणा करके दिखाया गया है,ध्यान से देखिये। (इसे जटिल ना समझें केवल स्पष्ट दिखाने के लिए ऐसा लिखा गया है।)

• चरण १ : 5x4 = 20 , 20 का 0 लिखेंगे और 2 प्राप्तांक।
• चरण २ : 5x2 + 3x4 = 22; 22 + 2(प्राप्तांक) = 24  ।   24  का 4 लिखेंगे और 2 प्राप्तांक।
• चरण ३ : 5x1 + 2x4 + 3x2 = 19; 19+2 =21, 21 का 1 लिखेंगे और 2 प्राप्तांक।
• चरण ४ : 3x1 + 2x2 = 7; 7 +2 =9. पूरा 9 ही लिखेंगे। 
• चरण ५ : 2x1  = 2.    2 भी पूरा लिखा जायेगा। 
• अर्थात् 2/9/1/4/0 = 29140 गुणनफल है। 

2. 154 x 323 --

• चरण १. -  3x4 =12 अर्थात् 12, ध्यान दें की 12 का 2 ही लिखेंगे शेष 1 को अगले चरण में जोड़ दिया जायेगा। 

• चरण २ -  3x5 + 2x4 = 23; चरण-१ से प्राप्त 1 को भी जोड़ दीजिए। 23+1 =24 होगा।  24 का 4 लिखेंगे और 2 प्राप्तांक।
• चरण ३ -  3x1 + 2x5 + 3x4 = 25; 25+2 =27 , 27 का 7 लिखेंगे और 2 प्राप्तांक।
• चरण ४ - 2x1 + 3x5 = 17; 17+2 = 19, 19 का 9 लिखेंगे और 1 प्राप्तांक।
• चरण ५ - 1x3 = 3;  3+1 = 4. पूरा 4 ही लिखेंगे।
• इस प्रकार गुणनफल है - 49742  

आगे और भी विस्तृत Post (प्रेषण ) किये जायेंगे। कुछ समस्या हो तो हमारे फेसबुक से जुड़ कर प्रश्न कर सकते हैं.   ............................ .